• Si une caractéristique est quantitative, alors on note dans une colonne la valeur mesurée sur l’individu.
• Si une caractéristique est qualitative, alors on utilise classiquement la représentation one hot encoding, qui consiste à représenter cette caractéristique qualitative sur autant de colonnes que de modalités et attribuer un \(1\) dans la colonne correspondant à la modalité de l’individu et 0 aux autres.

Données disponibles dans le package palmerpenguins mises à disposition par le Dr. Kristen Gorman et the Palmer Station, Antarctica LTER.

On a mesuré les caractéristiques morphologiques de divers manchots :

# A tibble: 3 × 8
  species island    bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
  <fct>   <fct>              <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
1 Adelie  Torgersen           39.1          18.7               181        3750
2 Adelie  Torgersen           39.5          17.4               186        3800
3 Adelie  Torgersen           40.3          18                 195        3250
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <fct>

Dans la suite on va noter \({\boldsymbol{X}}\) la matrice des données, \({\boldsymbol{X}}\in {\mathbb{R}}^{n\times p}\).

\(x_{\class{alea}{i}\class{orange}{j}}\) est la valeur de la variable \(\class{orange}{j}\) mesurée pour l’individu \(\class{alea}{i}.\)

\[{\boldsymbol{X}}= \overset{\color{orange}{\begin{matrix}var_1& \ldots \ & \ \ldots \ &\ \ldots\ & \ var_p \end{matrix}}}{\begin{pmatrix} x_{\class{alea}{1}}^{\class{orange}{1}} & \ldots & \ldots &\ldots & x_{\class{alea}{1}}^{\class{orange}{p}}\\ \vdots & & & &\vdots \\ & & x_{\class{alea}{i}}^{\class{orange}{j}} & & \\ \vdots & & & & \vdots \\ x_{\class{alea}{n}}^{\class{orange}{1}} & & & & \ldots x_{\class{alea}{n}}^{\class{orange}{p}}\\ \end{pmatrix}}\]

Ecrire les 2 premières lignes de \({\boldsymbol{X}}\) pour l’exemple des manchots

L’inertie par rapport à un point quantifie l’information perdue lorsque le jeu de données est résumé par ce point.

Quel est selon vous le point \(\boldsymbol{a}\) qui minimise l’inertie ?

\[argmin_{\boldsymbol{a}} I_{\boldsymbol{a}} = ??\]

BINGO !!!

Il s’agit du point \(\boldsymbol{g}=\boldsymbol{x_{\bullet}}=({x}_{\bullet}^1, \ldots, {x}_{\bullet}^p )^\top,\) avec \({x}_{\bullet}^k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{i}^k\), la valeur moyenne de la variable \(k\) sur l’ensemble des individus.

Puisque nous avons supposé que nos variables étaient centrées, \(G=O\) l’origine sur repère.

\[\forall \boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^p,\; I_\boldsymbol{a}=I_\boldsymbol{g} + \lVert\boldsymbol{a}- \boldsymbol{g}\rVert^2.\]

Identifier \(\Delta\) tel que \(I_{\Delta}\) soit minimale

Ce qui revient à l’axe \(\Delta\) qui assure que la projection sur \(\Delta\) déforme le moins possible le nuage de points.

Dans le cadre de l’ACP, on veut construire une ensemble d’axes orthogonaux (une nouvelle base de \({\mathbb{R}}^p\)), de façon à ce que

• la projection sur le premier axe, soit le meilleur résumé du nuage de points en une dimension,
• le deuxième axe est orthogonal au premier et représente “le deuxième meileur choix” …. dans un sens que l’on va définir
• le troisième …

Dans \({\mathbb{R}}^2\), on considère le sous espace vectoriel \(E\), tel que \[ E =\left \lbrace \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}^\top \in {\mathbb{R}}^2 : x_1 = x_2 \right \rbrace \] \(E\) est la droite d’équation \(y=x\).

Qui est \(E^\perp\) ?

Soit \(\boldsymbol{y}\in E^\perp,\) alors

\[\begin{align} 0 & = \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{y}\\ & = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\\ & = x_1 y_1 + x_2 y_2 \\ & = x_1 (y_1 + y_2) \quad (\boldsymbol{x}\in E \Rightarrow x_1 =x_2) \\ \end{align}\]

\[E^\perp = \left \lbrace \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix} y_1 & y_2 \end{pmatrix}^\top \in {\mathbb{R}}^2 : y_1 + y_2 = 0 \right \rbrace \]